[EPL/S 2018] Mathématiques

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Ils26L
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[EPL/S 2018] Mathématiques

Message par Ils26L »

Bonsoir à tous :)

J'espère que les épreuves se sont bien passées pour vous.
Voici mes réponses pour l'épreuve de mathématiques:

1- A
2- B
3-
4-
5- B
6- B
7- A
8- C
9- A
10- E
11- B
12- C
13- D
14- C
15- B
16- AB
17- C
18- B
19-
20-
21- D
22-
23-
24-
25-
26-
27-
28-
29-
30- C (mais la bonne réponse est B)
31-
32-C
33- AC (mais apparement la bonne réponse est B)
34-AB
35- B
36- A
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Linety
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Message par Linety »

Bonsoir, voici les réponses de la partie I :
1)C (C exponentiel(-primitive de b/a))
2)B (propriété classique des équations différentielles homogènes)
3)C (méthode de résolution de la variation de la constante)
4)D (addition de la solution particulière et homogène)
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C155
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Message par C155 »

Linety a écrit :Bonsoir, voici les réponses de la partie I :
1)C (C exponentiel(-primitive de b/a))
2)B (propriété classique des équations différentielles homogènes)
3)C (méthode de résolution de la variation de la constante)
4)D (addition de la solution particulière et homogène)
Le "-" de la formule ne s'annule t-il pas avec le "-" de l'expression de b/a (-2x/(1-x²)) ?
Ça serait donc plutôt la réponse A pour la 1 ?
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Linety
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Message par Linety »

C155 a écrit :
Linety a écrit :Bonsoir, voici les réponses de la partie I :
1)C (C exponentiel(-primitive de b/a))
2)B (propriété classique des équations différentielles homogènes)
3)C (méthode de résolution de la variation de la constante)
4)D (addition de la solution particulière et homogène)
Le "-" de la formule ne s'annule t-il pas avec le "-" de l'expression de b/a (-2x/(1-x²)) ?
Ça serait donc plutôt la réponse A pour la 1 ?

La formule dans ton cours postule que la solution est de la formule K exp(-primitive)
La primitive de b/a est ln(|1-x²|) avec le moins dans l'expression ci dessus et en utilisant la propriété du ln sur les puissances on obtient l'inverse et non l'opposé de ce qui est a l’intérieur du log
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alphapapa
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Message par alphapapa »

Linety a écrit :
C155 a écrit :
Linety a écrit :Bonsoir, voici les réponses de la partie I :
1)C (C exponentiel(-primitive de b/a))
2)B (propriété classique des équations différentielles homogènes)
3)C (méthode de résolution de la variation de la constante)
4)D (addition de la solution particulière et homogène)
Le "-" de la formule ne s'annule t-il pas avec le "-" de l'expression de b/a (-2x/(1-x²)) ?
Ça serait donc plutôt la réponse A pour la 1 ?

La formule dans ton cours postule que la solution est de la formule K exp(-primitive)
La primitive de b/a est ln(|1-x²|) avec le moins dans l'expression ci dessus et en utilisant la propriété du ln sur les puissances on obtient l'inverse et non l'opposé de ce qui est a l’intérieur du log
Tout à fait :pekin:
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C155
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Message par C155 »

Linety a écrit :
C155 a écrit :
Linety a écrit :Bonsoir, voici les réponses de la partie I :
1)C (C exponentiel(-primitive de b/a))
2)B (propriété classique des équations différentielles homogènes)
3)C (méthode de résolution de la variation de la constante)
4)D (addition de la solution particulière et homogène)
Le "-" de la formule ne s'annule t-il pas avec le "-" de l'expression de b/a (-2x/(1-x²)) ?
Ça serait donc plutôt la réponse A pour la 1 ?

La formule dans ton cours postule que la solution est de la formule K exp(-primitive)
La primitive de b/a est ln(|1-x²|) avec le moins dans l'expression ci dessus et en utilisant la propriété du ln sur les puissances on obtient l'inverse et non l'opposé de ce qui est a l’intérieur du log
Effectivement, j'ai simplement laissé le "-" lors de mon intégration..
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Nimbus2DH
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Message par Nimbus2DH »

Voici ma correction j'ai tout refait ce matin et je suis presque sur des réponses à par pour les questions 1 à 4( problème de raccordement des solutions)

Version "on s'en fout du raccordement des solutions sur V et de du caractère C1 des fonctions solutions";


1 - C

2 - B

3 - C

4 - la réponse D


Version "on est rigoureux et on fait gaffe à ce que les fonctions solutions soient C1 partout et surtout continues en -1 et 1";


1 - E la seule fonction C1 sur V est la fonction nulle Car il faut que C=0 pour avoir la fonction continue en 1 et -1

2 - A du coup une seule fonction solution et E.V de dimension 0

3 - E pas de solution particulière car la seule correcte (normalement la C) est pas continue en 1 et -1

4 - E du coup pas de solution

j’espère sincèrement que les correcteurs ne l'on pas fait exprès car sinon c'est des génies du mal,



6 - B on résout l'équation K : 3r²-2r-5=0, on trouve alors les solutions q1=5/3 q2=-1

7 - A on identifie avec U0 et U1 pour déterminer les deux constantes d'intégration sachant que Un=A*(5/3)^n+B*(-1)^n



8 - C unicité de la décomposition élément simple vérifié avec ceci ; https://www.emathhelp.net/calculators/a ... alculator/

9 - A on intègre en faisant attention au signe de (x-1) pour le logarithme

10 - E toutes les réponses sont fausses car 1-x est négatif et le logarithme n'est pas défini

11 - B vérifié à la calculette

12 - C intégrer e^(ax) avec a=-1-2in

13 - D toujours avec https://www.emathhelp.net/calculators/a ... 9&steps=on

14 - C on intègre,

15 - B on intègre aussi



21 - D, car le produit de 4 termes consécutifs contient au moins un multiple de 4 un multiple de 3 et un multiple de 2 non multiple de 4; par conséquent et divisible par 4*2*3=24, les autres ne marchent pas pour 1*2*3*4

23 - C car le nombre de 0 est le nombre de fois que le facteur 10 est présent dans la factorielle, or 10=2*5, les facteurs limitants sont ici les 5,on cherche donc le nombre de fois que le facteur 5 est présent dans la factorielle,
il en a un pour 5 10 15 et 20 donc 4 facteur 5 et donc 4 zéros

24 - A/C car il y a toujours un excès de facteurs 2

25 - C avec les congruences en partant du principe que 2^3 est congru a 1 modulo 7, puis en élevant à la puissance 8, pour les autres même démarche mais on aboutit à d'autres choses que 2^21 congru à 1 modulo P

26 - B car 2^7 est congru à 1 modulo 127, on élève à exposant 3 pour trouver le résultat, les autres ne marchent pas pour les mêmes raisons

27 - B/C même idée on remarque que 3^2 est congru à -1 modulo 5 puis on élève, pour C 3^3 est congru à -1 modulo 7

28- A avec double inégalité en travaillant sur partie entière de nx et partie entière de x, B/C fausses car pour n=1 on trouve 0=1

29 - B on remarque que 20 est congru à -1 modulo 7 et que 100 est congru à 2 modulo 7, donc 2000 congru à -2 modulo 7, on élève exposant 10 en remarquant que (-2)^10 est congru à 2 modulo 7,
on obtiens finalement 2000^1000 est congru à 2 modulo 7 en vérifiant que 2 est bien un reste



30 - B on développe par rapport à la première ligne pour obtenir le déterminant voulu

32 - C a la calculette

33 - B la matrice des vecteurs est non inversible car de déterminant nul, donc les vecteurs sont liés, en résolvant le système d'équation on trouve x0=2i-j+k non colinéaire à la réponse D



34 - A/B le problème se situe en 0, en effectuant un DL de la fonction on trouve que la fonction est bien continue et dérivable en 0

35 - B en faisant lim F(x)/x en l'infini on trouve 1 ce qui prouve que la droite y=x est une direction asymptotique de la fonction,
reste à prouve que lim F(x)-x en l'infini est zéro afin de montrer que y=x est bien asymptote
à la courbe, avec un DL de l’exponentielle on prouve le résultat
Modifié en dernier par Nimbus2DH le 06 avr. 2018, 00:52, modifié 4 fois.
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Linety
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Message par Linety »

"""""" Version "on est rigoureux et on fait gaffe à ce que les fonctions solutions soient C1 partout et surtout continues en -1 et 1";


1 - E la seule fonction C1 sur V est la fonction nulle Car il faut que C=0 pour avoir la fonction continue en 1 et -1

2 - A du coup une seule fonction solution et E.V de dimension 0

3 - E pas de solution particulière car la seule correcte (normalement la C) est pas continue en 1 et -1

4 - E du coup pas de solution

j’espère sincèrement que les correcteurs ne l'on pas fait exprès car sinon c'est des génies du mal """""

Y'a pas de "version rigoureuse" l'énoncé te dit clairement que tu te places sur un intervalle ou les fonctions solutions ne s'annulent pas donc y'a pas besoin de ce raisonnement. En revanche si ta fonction solution n'existait pas sur un ensemble de points inclut sur ton intervalle prédéfini la fonction est identiquement nulle sur ton intervalle
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Nimbus2DH
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Message par Nimbus2DH »

Linety a écrit :"""""" Version "on est rigoureux et on fait gaffe à ce que les fonctions solutions soient C1 partout et surtout continues en -1 et 1";


1 - E la seule fonction C1 sur V est la fonction nulle Car il faut que C=0 pour avoir la fonction continue en 1 et -1

2 - A du coup une seule fonction solution et E.V de dimension 0

3 - E pas de solution particulière car la seule correcte (normalement la C) est pas continue en 1 et -1

4 - E du coup pas de solution

j’espère sincèrement que les correcteurs ne l'on pas fait exprès car sinon c'est des génies du mal """""

Y'a pas de "version rigoureuse" l'énoncé te dit clairement que tu te places sur un intervalle ou les fonctions solutions ne s'annulent pas donc y'a pas besoin de ce raisonnement. En revanche si ta fonction solution n'existait pas sur un ensemble de points inclut sur ton intervalle prédéfini la fonction est identiquement nulle sur ton intervalle
Une réunion disjointe d'intervalles n'est pas un intervalle ( les intervalles de R sont exactement les parties convexes)
toutes les fonctions énonces sont solutions des sous intervalles mais absolument pas de leur réunion car elles ne satisfont pas le conditions C1 sur l'intervalle

pour pouvoir prolonger la fonction solution sur V faut qu'elle soit solution sur chaque sous intervalle qu'elle admette même limite à droite et à gauche en 1 et -1 pareil pour sa dérivée, et de plus qu'elle vérifie l'équation en -1 et en 1
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Message par Linety »

Nimbus2DH a écrit :
Linety a écrit :"""""" Version "on est rigoureux et on fait gaffe à ce que les fonctions solutions soient C1 partout et surtout continues en -1 et 1";


1 - E la seule fonction C1 sur V est la fonction nulle Car il faut que C=0 pour avoir la fonction continue en 1 et -1

2 - A du coup une seule fonction solution et E.V de dimension 0

3 - E pas de solution particulière car la seule correcte (normalement la C) est pas continue en 1 et -1

4 - E du coup pas de solution

j’espère sincèrement que les correcteurs ne l'on pas fait exprès car sinon c'est des génies du mal """""

Y'a pas de "version rigoureuse" l'énoncé te dit clairement que tu te places sur un intervalle ou les fonctions solutions ne s'annulent pas donc y'a pas besoin de ce raisonnement. En revanche si ta fonction solution n'existait pas sur un ensemble de points inclut sur ton intervalle prédéfini la fonction est identiquement nulle sur ton intervalle
Une réunion disjointe d'intervalles n'est pas un intervalle ( les intervalles de R sont exactement les parties convexes)
toutes les fonctions énonces sont solutions des sous intervalles mais absolument pas de leur réunion car elles ne satisfont pas le conditions C1 sur l'intervalle

pour pouvoir prolonger la fonction solution sur V faut qu'elle soit solution sur chaque sous intervalle qu'elle admette même limite à droite et à gauche en 1 et -1 pareil pour sa dérivée, et de plus qu'elle vérifie l'équation en -1 et en 1
Oui je suis d'accord mais on te demande pas de résoudre l'équation sur R ce qu'il serait totalement impossible mais comme tu le dis sur des parties d'intervalle. Pour pouvoir prolonger l'equation en plus les solutions doivent etre C1 sur R
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gogogadjet17
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Message par gogogadjet17 »

PERSONNE n'a traité les questions sur les séries ? C'est quoi ces sups là oh ! :D

(sinon j'ai a peu près les mêmes réponses que le premier message sauf les 4 premières questions sur les equadiff)
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Nimbus2DH
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Message par Nimbus2DH »

La question 20 normalement c'est la B, c'est la démo qui sert à prouver l’existence de la constante d’Euler,

http://www.mathprepa.fr/2017/09/la-constante-deuler/

de plus pour la question 19 et 18 utiliser le signe somme de 1 à l'infini pour désigner une série n'est pas rigoureux,

une série n'est pas définie comme étant égale à sa somme, on utilise le signe somme de 1 à l'infini seulement pour désigner la somme d'une série convergente, la somme étant un réel ou un complexe,

alors que la série est un objet mathématique.

C'est la même idée avec f et f(x) , (Un) et Un, les premiers désignant une fonction et une suite, les seconds l'image de cette fonction par x et le énième terme de la suite;

Bref c'est rigolo de se dire que les concepteurs ont le capes ou l'agreg et arrivent à sortir des énormités comme ça.

En y repensant les questions sur les équations diff ( 1 à 4 ), pouvaient être traitées sans se soucier du raccordement en -1 et 1
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gogogadjet17
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Message par gogogadjet17 »

Nimbus2DH a écrit :La question 20 normalement c'est la B, c'est la démo qui sert à prouver l’existence de la constante d’Euler,

http://www.mathprepa.fr/2017/09/la-constante-deuler/

de plus pour la question 19 et 18 utiliser le signe somme de 1 à l'infini pour désigner une série n'est pas rigoureux,

une série n'est pas définie comme étant égale à sa somme, on utilise le signe somme de 1 à l'infini seulement pour désigner la somme d'une série convergente, la somme étant un réel ou un complexe,

alors que la série est un objet mathématique.

C'est la même idée avec f et f(x) , (Un) et Un, les premiers désignant une fonction et une suite, les seconds l'image de cette fonction par x et le énième terme de la suite;

Bref c'est rigolo de se dire que les concepteurs ont le capes ou l'agreg et arrivent à sortir des énormités comme ça.

En y repensant les questions sur les équations diff ( 1 à 4 ), pouvaient être traitées sans se soucier du raccordement en -1 et 1
Exactement ! Après beaucoup de profs utilisent cette notation abusive de somme infinie ! Mais cela suppose en effet la série convergente et n'est pas du tout rigoureux pour un sujet de concours niveau Bac+1...
Et les erreurs du type f(x) en parlant de la fonction, il y en a dans les erratums des années précédentes... des tonnes ! Les profs doivent faire les sujets vers 1h du matin et les relire le jour de l'épreuve :D
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profenSpé
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Message par profenSpé »

gogogadjet17 a écrit : Les profs doivent faire les sujets vers 1h du matin et les relire le jour de l'épreuve :D
Des fois je le pense aussi :D

J'ai aussi fini mon corrigé assez tard, et je ne l'ai pas trop relu.. Le voici quand même:
http://prepasdarsonval.fr/telechargemen ... l?start=15

Ce n'était guère passionnant cette année encore....

P.S: je ne sais pas pourquoi, mon site rame un peu en ce moment, soyez patient!
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Nimbus2DH
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Message par Nimbus2DH »

profenSpé a écrit :
gogogadjet17 a écrit : Les profs doivent faire les sujets vers 1h du matin et les relire le jour de l'épreuve :D
Des fois je le pense aussi :D

J'ai aussi fini mon corrigé assez tard, et je ne l'ai pas trop relu.. Le voici quand même:
http://prepasdarsonval.fr/telechargemen ... l?start=15

Ce n'était guère passionnant cette année encore....

P.S: je ne sais pas pourquoi, mon site rame un peu en ce moment, soyez patient!
Vous etre absolutely certain pour la question 2 et 4 ?

De plus a la question 24 la C marche aussi

Pour la question 31 sur la matrices de la projection on peut aussi passer par la projection associée selon le vecteur orthogonal au plan,

Ici (2;-2;1) de norme 3 et utiliser ensuite le profit scalaire pour calculate l image de (1;0;0) (0;1;0) Et (0;0;1) par la projection orthogonale sur l'orthogonale du plan

Edit: j'avais pas vu le message en bas de la question ^^
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profenSpé
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Message par profenSpé »

1) Vous avez raison pour le calcul de la matrice de la projection orthogonale, c'est comme cela qu'il faut faire a priori. Mais bon, autant profiter des réponses données, surtout qu'il n'y en avait qu'une à tester en fait.

2) Merci pour la remarque pour la question 24; effectivement si A est vraie C l'est aussi, je n'avais pas fait attention, je viens de rectifier.

3) Pour les questions 2 et 4, oui, je suis absolument sur; le théorème de Cauchy-Lipschitz, d'où l'on tire que l'ensemble des solutions de l'équation homogène est un ev de dimension 1, n'est valable que pour les équations résolues; pour mettre l'équation initiale sous forme résolue, il faut diviser par 1-x^2 donc forcément se placer sur l'un des 3 intervalles que j'ai mentionnés, d'où l'existence de 3 constantes (le fait qu'il y ait trois constantes vient du fait que si f'=0 sur I_1 U I_2 U I_3 où I_1 I_2 et I_3 sont des intervalles disjoints, on n'a pas forcément f=constante mais f=constante sur chaque intervalle.
Maintenant, peut-être que les concepteurs du sujet (la rigueur mathématique n'étant pas le fort des sujets de l'ENAC, loin de là) n'attendent que les réponses "approximatives" que sont n=1 pour la question 2 et réponse D pour la question 4... Impossible à savoir!
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Message par Nimbus2DH »

profenSpé a écrit :1) Vous avez raison pour le calcul de la matrice de la projection orthogonale, c'est comme cela qu'il faut faire a priori. Mais bon, autant profiter des réponses données, surtout qu'il n'y en avait qu'une à tester en fait.

2) Merci pour la remarque pour la question 24; effectivement si A est vraie C l'est aussi, je n'avais pas fait attention, je viens de rectifier.

3) Pour les questions 2 et 4, oui, je suis absolument sur; le théorème de Cauchy-Lipschitz, d'où l'on tire que l'ensemble des solutions de l'équation homogène est un ev de dimension 1, n'est valable que pour les équations résolues; pour mettre l'équation initiale sous forme résolue, il faut diviser par 1-x^2 donc forcément se placer sur l'un des 3 intervalles que j'ai mentionnés, d'où l'existence de 3 constantes (le fait qu'il y ait trois constantes vient du fait que si f'=0 sur I_1 U I_2 U I_3 où I_1 I_2 et I_3 sont des intervalles disjoints, on n'a pas forcément f=constante mais f=constante sur chaque intervalle.
Maintenant, peut-être que les concepteurs du sujet (la rigueur mathématique n'étant pas le fort des sujets de l'ENAC, loin de là) n'attendent que les réponses "approximatives" que sont n=1 pour la question 2 et réponse D pour la question 4... Impossible à savoir!
Meme l'année dernière vous utilisiez la trace et le determinant comme conditions necessaires pour pouvoir éliminer les réponses fausses. A chaque fois j'oublie que ce sont des outils très efficaces

Par contre que pensez vous de la résolution en tentant de raccorder en -1 et en 1 ?

Car ici bien que vous dites qu'il y a trois constantes elles doivent etre nulles afn que la fonction soit continue en -1 et 1

Cela me change rien pour la question 4 mais normalement on doit pouvoir au moins raccorder par continuité en -1 et en 1 ?( et donc seulement fonction nulle solution de l'équation homogène et pas de solution pour l'équation avec second membre)
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Message par profenSpé »

Avec les notations de mon corrigé: il est possible de raccorder en -1 ssi C_1=C_2 = 1/3 (pour simplifier par 1+x) et possible de raccorder en 1 ssi C_2=C3=-1/3 (pour simplifier par 1-x). Ce n'est donc pas possible de raccorder aux deux points, il n'y a pas de solution sur R.
Mais cela ne correspond pas trop à l'énoncé, qui dit de chercher la solution sur V . Ce qui est d'ailleurs mathématiquement incorrect, car on cherche toujours les solutions sur un intervalle. Quand un de mes élèves cherche les solutions sur une réunion d'intervalles je hurle... Bref, la formulation de l'énoncé est incorrecte, donc peut-être qu'ils attendent une réponse incorrecte comme la réponse D à la question 4...
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Message par Nimbus2DH »

profenSpé a écrit :Avec les notations de mon corrigé: il est possible de raccorder en -1 ssi C_1=C_2 = 1/3 (pour simplifier par 1+x) et possible de raccorder en 1 ssi C_2=C3=-1/3 (pour simplifier par 1-x). Ce n'est donc pas possible de raccorder aux deux points, il n'y a pas de solution sur R.
Mais cela ne correspond pas trop à l'énoncé, qui dit de chercher la solution sur V . Ce qui est d'ailleurs mathématiquement incorrect, car on cherche toujours les solutions sur un intervalle. Quand un de mes élèves cherche les solutions sur une réunion d'intervalles je hurle... Bref, la formulation de l'énoncé est incorrecte, donc peut-être qu'ils attendent une réponse incorrecte comme la réponse D à la question 4...
Effectivement j'avais pas vu cela sous cet angle, vous avez raison, on résout sous chaque sous intervalle, et non sous une réunion d'intervalle

(c'est alors bizarre qu'ils parlent de solution sur V qui est lui même réunion disjointe d'intervalle, et donc une partie non convexe de R), c'est pour ça que j'ai essayé de raccorder, à tort, les solutions des sous intervalles.

Qu'avez vous pensé de la magnifique notation somme de 0 à l'infini pour exprimer une série qui n'est même pas obligé d'être convergente ? ;)
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profenSpé
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Message par profenSpé »

Nimbus2DH a écrit : c'est alors bizarre qu'ils parlent de solution sur V qui est lui même réunion disjointe d'intervalle
Oui je pense que beaucoup ont du se tromper! Mais peut-être l'auteur du sujet aussi!
Nimbus2DH a écrit : Qu'avez vous pensé de la magnifique notation somme de 0 à l'infini pour exprimer une série qui n'est même pas obligé d'être convergente ?
Oui c'est choquant, mais j'avoue que je n'ai pas relevé car au 1er coup d'oeil j'ai vu que la série était convergente. D'ailleurs si vous regardez bien, dans les réponses de la question 20, la notation est correcte! Je pense que l'auteur du sujet a fait comme moi: sachant que la série converge, il a écrit directement la somme....
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