Aeronet

Bonjour,
je vous mets les réponses que j'ai mises pour l'épreuve de cette année, n'hésitez pas à apporter votre contribution pour compléter le corrigé!

Salut, pour la 1) il n'y a pas la D (mais bien la B) normalement car il manque le factoriel au p. Pour la 4, si tu prends p=3, 1/p!=1/6 qui est inférieur 1/2² donc pas la B. pour la 33 c'est la D normalement. pour la 7, les deux convergent vers e donc la B. Pour la 8, la dimension de Mn est n² donc c'est Bet D

Est ce que t'as une justfication pour la 33? j'ai modifié pour le reste

en fait il faut faire le calcul : rapidement f^-1(0)=0 f^-1 est C infinie... donc tu peux supposer que ton DL va s'écrire f^-1(x)=ax+bx^2+cx^3+dx^4+o(x^4). ensuite tu sais que f(x)= x+x^3+o(x^3). Donc tu calcules les puissances 2,3,4 de f et tu injectes dans f^-1 en t'arretant a des o(x^4). tu factorises tout par x,x^2.... enfin f^-1(f(x))=x qui te donne les conditions sur a,b,c,d. Après pour le reste des questions j'ai pas regardé

Question 34. A et D.
En effet, les polynômes irréductibles dans C sont de degré 1 donc A vraie.
Les polynômes irréductibles dans R sont de degré 1 et de degré 2 avec un delta strictement négatif donc B faux.
Finalement un calcul fastidieux donne la réponse D.

Question 35. A

Pour la 19, la réponse est la D.

exo 22 :
https://www.bibmath.net/ressources/inde ... &type=fexo

Pour la question 20 c'est la réponse B
(Exercice 105.2b banque ccinp mp 2022)

Concernant la question 27, ce ne sera pas la réponse D car U0 = 15 et U1 = 69 ne sont pas premiers entre eux (diviseur commun 3).
J’aurais tendance à dire réponses B et C car j’ai l’impression qu’on aura toujours 3 comme PGCD de Un et Un+1.

Et donc par conséquent, la réponse à la 29 serait E, car PGCD(Un, Un+1) = 3.

Hugolitofly a écrit : ↑05 avr. 2022, 16:36 Concernant la question 27, ce ne sera pas la réponse D car U0 = 15 et U1 = 69 ne sont pas premiers entre eux (diviseur commun 3).
J’aurais tendance à dire réponses B et C car j’ai l’impression qu’on aura toujours 3 comme PGCD de Un et Un+1.

Et donc par conséquent, la réponse à la 29 serait E, car PGCD(Un, Un+1) = 3.

j'ai fini par résoudre le problème avec excel, et après un certain nombre d'étapes on a plus PGCD(Un,Un+1) qui vaut 3... Ducoup on aurait
27: E
28: B
29: E

Quand tu passes de U19 à U20, je pense qu'Excel fait une erreur d'arrondi

En effet, on peut remarquer que pour tout n entre 1 et 19, le chiffres des unités de Un est 9
Si on cherche à recalculer U20 on a donc U20= 5*(..............9) - 6 = (............5) - 6 = ...................9, donc U20 devrait finir par un 9 et en répétant le processus, il apparait par récurrence que pour tout n>=2, le chiffre des unités de Un est 9.

Par ailleurs, en faisant le calcul avec Python, on obtient que PGCD(Un,Un+1)=3 pour tout n<=10 000 et donc on peut peut-être conjecturer que tout diviseur commun à Un et Un+1 divise aussi 6 et 15

Et dans ce cas, réponse B et C pour la question 27



De plus pour montrer proprement la question 28, on peut remarquer que (Un) est une suite arithmético-géométrique et il vient alors que pour tout n, Un=3/2 * (9 * 5^n +1)

Par récurrence, on montre facilement que 5^n est un nombre impair (le produit de 2 nombres impairs et impair) donc 9*5^n est aussi impair.
De là, 9 * 5^n +1 est un entier pair et on peut trouver un entier p_n tel que 9 * 5^n +1=2*p_n
On a donc Un=3/2*2*p donc Un=3p_n donc Un est un multiple de 3
On a donc que pour tout n, 3 divise Un

Ainsi réponse B pour la question 28

Pour la question 10, je suis d'accord que les trois premières réponses sont fausses, car pour la A) S³=S et donc ce n'est pas égal à I2, même raisonnement pour la B).
En faisant le calcul on remarque que R² n'est pas égal à R donc la C) est fausse. Par contre on a bien R⁴=R, et comme R est inversible et que R^(-1)=R², la D) fonctionne bien pour tout k entier relatif.

Pour la question 11 la A) et B) sont fausses car I2+S n'appartient pas à G1 et I2+R n'est pas dans G2
Par contre la C) et la D) sont pour moi justes. Pour la C) : I2xS=S appartient bien à G1 et pour la D) si on prend pas compte de I2 avec qui le produit est forcément stable il faut vérifier seulement R²xR et on remarque que R²xR=I2 donc la D) serait vraie.

Léo.piloto a écrit : ↑06 avr. 2022, 15:17 Pour la question 10, je suis d'accord que les trois premières réponses sont fausses, car pour la A) S³=S et donc ce n'est pas égal à I2, même raisonnement pour la B).
En faisant le calcul on remarque que R² n'est pas égal à R donc la C) est fausse. Par contre on a bien R⁴=R, et comme R est inversible et que R^(-1)=R², la D) fonctionne bien pour tout k entier relatif.

Pour la question 11 la A) et B) sont fausses car I2+S n'appartient pas à G1 et I2+R n'est pas dans G2
Par contre la C) et la D) sont pour moi justes. Pour la C) : I2xS=S appartient bien à G1 et pour la D) si on prend pas compte de I2 avec qui le produit est forcément stable il faut vérifier seulement R²xR et on remarque que R²xR=I2 donc la D) serait vraie.

Pour la 10 j'ai R^(4k+l)=R^l, mais je vois pas en quoi R²=R^(-1) nous amène à la D...
Pour la 11, rien ne dit que M et N doivent être distinctes, donc:
pour la C: S*S n'est pas dans G1
pour la D: R²*R n'est pas dans G2
à revérifier

Pour la 10, je pense effectivement que la D est vraie.

mangakaaa a écrit : ↑06 avr. 2022, 17:35

Léo.piloto a écrit : ↑06 avr. 2022, 15:17 Pour la question 10, je suis d'accord que les trois premières réponses sont fausses, car pour la A) S³=S et donc ce n'est pas égal à I2, même raisonnement pour la B).
En faisant le calcul on remarque que R² n'est pas égal à R donc la C) est fausse. Par contre on a bien R⁴=R, et comme R est inversible et que R^(-1)=R², la D) fonctionne bien pour tout k entier relatif.

Pour la question 11 la A) et B) sont fausses car I2+S n'appartient pas à G1 et I2+R n'est pas dans G2
Par contre la C) et la D) sont pour moi justes. Pour la C) : I2xS=S appartient bien à G1 et pour la D) si on prend pas compte de I2 avec qui le produit est forcément stable il faut vérifier seulement R²xR et on remarque que R²xR=I2 donc la D) serait vraie.

Pour la 10 j'ai R^(4k+l)=R^l, mais je vois pas en quoi R²=R^(-1) nous amène à la D...
Pour la 11, rien ne dit que M et N doivent être distinctes, donc:
pour la C: S*S n'est pas dans G1
pour la D: R²*R n'est pas dans G2
à revérifier

Pour la question 11, on a :

- Pour G1 :
I2*I2 = I2 qui appartient bien à G1
IS*S = S qui appartient bien à G1
S*I2 = S qui appartient bien à G1
S*S = S^2 = I2 qui appartient bien à G1
Dans tous les cas, le produit est dans G1, donc G1 est stable par produit
Donc la réponse C est juste

Cependant, I2+S= 2* M(1,1) qui n'appartient pas à G1 [En reprenant la définition des matrices données dans le sujet]
Donc G1 n'est pas stable par somme
Donc la réponse A est fausse


- Pour G2 :
I2*I2 = I2 qui appartient bien à G2
I2*R = R qui appartient bien à G2
I2*R^2 = R^2 qui appartient bien à G2
R*I2 = R qui appartient bien à G2
R*R = R^2 qui appartient bien à G2
R*R^2 = R^3 = I2 qui appartient bien à G2
R^2*I2 = R^2 qui appartient bien à G2
R^2*R = R^3 = I2 qui appartient bien à G2
R^2*R^2 = R^4 = R qui appartient bien à G2
Dans tous les cas, le produit est dans G2, donc G2 est stable par produit
Donc la réponse D est juste

Cependant, I2+I2= 2* I2 qui n'appartient pas à G2 
Donc G2 n'est pas stable par somme
Donc la réponse B est fausse

mangakaaa a écrit : ↑06 avr. 2022, 17:35
Pour la 10 j'ai R^(4k+l)=R^l, mais je vois pas en quoi R²=R^(-1) nous amène à la D...

Pour la question 10 on a :
S^2 = I2 mais S^3 = S^2*S = I2*S = S
Donc la réponse A est fausse

Avec ce qui précède S^3 = S =/= -I2
Donc la réponse B est fausse

Pour R^2, on a les coefficients de l’anti diagonale qui sont les opposés de ceux de R
Donc la réponse C est fausse

Par le calcul, on a R^3 = I2 donc R^4 = R
De plus, R^(3k+l) = R^(3k) * R^l = (R^3)^k * R^l = I2^k * R^l
Or I2 est inversible et pour tout entier relatif k, I2^k = I2
Donc R^(3k+l) = I2 * R^l = R^l
Donc la réponse D est vraie

Pour la question 4, on peut remarquer avec un graphe Python que pour tout n >=2, xn<=yn
et puisque les deux suites sont des suites croissantes à termes positifs qui convergent vers e, on en déduit 0<Xn<=Yn<3
La réponse C est juste et la réponse D est fausse

Pour la A) si on prend p=1, on a 1/p! = 1 > 1/4 = 1/(2^2) = 1/(2^p+1) donc la réponse A est fausse
Pour la B) si on prend p=3, on a 1/p! = 1/6 < 1/4 = 1/(2^2) = 1/(2^p-1) donc la réponse B est fausse

Ça implique alors la réponse E pour la question 5, puisque
« d’après les résultats précédents, on en déduit » que Xn est croissante et majorée par 3 donc sa limite est inférieure ou ÉGALE à 3 par passage à la limite (ce qui nous fait perdre les inégalités strictes, donc la réponse D est fausse aussi..)
Vous en pensez quoi ?

En effet avec seulement les questions précédentes on peut pas conclure une inégalité stricte, mais on peut en calculant directement la limite de Xn, qui n'est pas très compliquée :

(1+(1/n))^n = exp(nln(1+1/n))=exp(nln((1/n)+o(1/n)))=exp(1+o(1))
Donc on a Xn qui tend vers e quand n tend vers l'infini, donc la D est bien vraie

La question 5 est la réponse D. En effet, en passant x_n sous forme exponentielle, on remarque que sa limite est e. Donc comme e=2,71… <3, la D est vraie.