Bonjour à tous,
Il me semble qu'il y a une petite erreur dans le raisonnement plus haut.
Si on reprend les équations :
5 carreleurs 10h/j 2j -> 30m² (1)
x carreleurs 15h/j 5j -> 45m² (2)
On peut effectivement utiliser la notion de PPCM mais ça complique les choses et on ne comprend pas le fond du problème.
Bref en utilisant cette méthode on tombait sur :
300 -> 90m²
150x -> 90m²
Donc x=2, c'était bien le nombre de carreleurs que l'on cherchait puisque x a été défini de cette manière. Le diviser par 2 n'a aucun sens.
***************************
Plus simplement, on peut voir le problème, comme tous les autres de ce type évoqués dans le topic, comme un problème de RENDEMENT.
Ici, d'après (1) il faut faire l'opération (5 carreleurs*10h/j*2j) pour connaître le nombre d'heures pour paver 30m², soit 100h de travail pour 30m². ou encore 100/30 h/m².
On peut voir le produit (Carreleurs*Cadence*Nbre de jours) comme l'énergie à fournir pour réaliser un travail W (surface à paver).
Appelons ce produit TET (pour Temps Equivalent Travailleur).
Le rapport TET/W peut être vu comme un RENDEMENT : c'est l'énergie dépensée par "unité de travail", ici des heures/m².
Notons TET(1)/W(1) le rendement de l'équation (1).
On suppose implicitement que le rendement est le même dans le cas (2) : c'est-à-dire que la loi entre TET et W est linéaire. On a alors :
TET(1)/W(1) = TET(2)/W(2)
Soit : 5*10*2/30 = x*15*5/45 d'où immédiatement x = 2.
EN BREF
5 carreleurs 10h/j 2j -> 30m² (1)
x carreleurs 15h/j 5j -> 45m² (2)
On n'a qu'à écrire :
5*10*2 / 30 = x*15*5 / 45
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La base de ce type de problème est le temps équivalent travailleur TET nécessaire pour réaliser une tâche ou travail donné W, où TET est le produit d'un nombre de travailleurs par un nombre d'heures ou de jours.
Ici il faut TET = 100 carreleurs.h pour W = (paver 30m²).
Et on suppose implicitement que la loi entre T et W est linéaire, c'est-à-dire que le rendement est constant ou encore que une variation dW entraîne une variation dT dans les mêmes proportions, ce qui a permis d'écrire T1/W1 = T2/W2.
Une fois que l'on connaît cette relation, le problème est facile à résoudre, que l'inconnue soit le nombre de travailleurs, leur cadence, leur nombre de jours de travail, ou le travail à effectuer.
Autre ex : 3 peintres mettent 5 jours pour peindre 100m²
L'énergie à fournir pour peindre 100m² est de 15 peintres.jours.
L'énergie 15 peintres.jours peut être délivrée par :
15 peintres en 1 jour
1 peintre en 15 jours
5 peintres en 3 jours
Si maintenant la surface à peindre est de 150m², elle augmente de 50% donc même chose pour l'énergie à fournir ou le temps équivalent travailleur qui devient égal à 15peintres.jours*1,5 = 22,5 peintres.jours.
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PROBLEME DU MECANO ET DU CDT DE BORD
Enoncé :
Un mécano met 30 min pour effectuer la prévol tout seul.
Le cdt et lui mettent ensemble 20 min pour effectuer cette même tâche.
Combien de temps le cdt met-il pour réaliser la prévol seul ?
Résolution :
Essayons de comprendre pourquoi c'est la loi des résistances en // qui s'applique.
Notons :
t_c le temps que met le le cdt pour faire la prévol seul
t_m le temps que met le le mécano pour faire la prévol seul
t_(m+c) le temps que mettent les 2 pour faire la prévol ensemble
T un temps quelconque.
W le travail à effectuer, soit W=visite prévol.
En un temps T, le cdt réalise le travail W autant de fois que T/t_c.
En un temps T, le mécano réalise le travail W autant de fois que T/t_m.
Les rapports r = T/t représentent un rendement en quelque sorte, c'est-à-dire une capacité à réaliser un travail.
Si le cdt et le mécano peuvent réaliser le même travail indépendamment l'un de l'autre, ce qu'on suppose implicitement, alors le rendement de l'ensemble {mécano+cdt} est égal à la somme de chaque rendement.
Donc r(mécano+cdt) = r(mécano) + r(cdt).
Le travail W est donc réalisé en totalité par le système {mécano+cdt} lorsqu'il est réalisé en un temps T=t_(m+c) tel que :
r(mécano+cdt) = 1, soit
r(mécano) + r(cdt) = 1, ou encore :
T/t_m + T/t_c = 1, soit finalement :
1/t_m + 1/t_c = 1/T où T = t_(m+c)
Dans notre cas précis,
1/30 + 1/x = 1/20 d'où x = t_c = 60 min
test d''''arithmétique
Modérateurs : oliver_twist, Jarod501
Bonjour,
Il y a un énoncé sur lequelle je bute : la personne qui dépense tout son argent dans 5 magasins , sachant qu'il a dépensé un franc de plus de ce qu'il avait au départ dans chacun des magasins , combien avait-il au départ ? J'ai essayé de formaliser avec mon système d'équation , mais je n'y arrive pas!
Merci.
Il y a un énoncé sur lequelle je bute : la personne qui dépense tout son argent dans 5 magasins , sachant qu'il a dépensé un franc de plus de ce qu'il avait au départ dans chacun des magasins , combien avait-il au départ ? J'ai essayé de formaliser avec mon système d'équation , mais je n'y arrive pas!
Merci.
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pongara - Elève-pilote posteur
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- Enregistré le : 13 juil. 2007, 12:30
- Localisation : Montpellier
Bonjour,
Il me semble que tu fais allusion au problème suivant :
Une personne a dépensé tout son argent dans 5 magasins. Sachant qu'il a dépensé 1 franc de plus que la moitié de ce qu'il avait en entrant, combien avait-il en poche au départ?
A : 54 Fr B : 62 Fr C : 75 Fr D : 90 Fr
La bonne réponse est B : 62 Fr. Pourquoi ?
On voit tout de suite qu'il s'agit d'un problème de suite arithmético-géométrique. On s'en rend compte en modélisant le problème.
On peut donc essayer de résoudre le problème de manière purement analytique ou plus graphiquement avec un tableau
Méthode analytique
En effet, soit S[0] la somme possédée avant de pénétrer dans le 1er magasin.
D'après l'énoncé, la somme dépensée dans le magasin 1 est la somme Sd[1] = S[0]*2 + 1
La somme restante après le passage dans le magasin 1 est donc Sr[1] = S[0] - Sd[1] = S[0]/2 - 1
Cette somme Sr[1] est donc égale aussi à S[1], la somme possédée avant de pénétrer dans le 2nd magasin.
On a donc : S[1] = Sr[1] = S[0]/2 - 1
On peut en déduire directement : S[n+1] = S[n]/2 - 1 (équation 4)
Pour le détail, lire le contenu de la citation ci-dessous :
S[5] = 0
On veut connaître S[0], la somme possédée avant de rentrer dans le magasin 1, donc remonter la suite.
Pour cela il faut exprimer S[n] en fonction de S[n+1].
D'après (4), S[n] = 2*(S[n+1] + 1) = 2*S[n+1] + 2
Là, 2 méthodes : soit on remonte petit à petit (méthode 1), soit on connaît la formule générale des suites arithmético-géométriques(méthode 2).
Méthode 1
On remonte pas à pas :
S[4] = 2*(S[5] + 1) = 2*(0 + 1) = 2
S[3] = 2*(S[4] + 1) = 2*(2 + 1) = 6
S[2] = 2*(S[3] + 1) = 2*(6 + 1) = 14
S[1] = 2*(S[2] + 1) = 2*(14 + 1) = 30
S[0] = 2*(S[1] + 1) = 2*(30 + 1) = 62
Méthode 2
Si une suite arithmétique quelconque est de la forme
Y[n+1] = a*Y[n] + b avec a et b non nuls, alors pour tout entier n positif :
Y[n] = (a^n)*Y[0] + b*(somme de i=0 à n-1 de a^i)
Dans notre cas, cela donne :
S[0] = (2^5)*S[5] + 2*(1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4)
S[0] = 62
Méthode graphique
On peut construire le tableau suivant avec les entrées suivantes, qui permet de retracer l'historique du passage dans les différents magasins.
x : N° du magasin | Somme poss. avant x | Somme dép. dans x | Somme rest. après x
Pour le premier magasin, on a S[0] avant d'entrer,
on dépense (S[0]/2 + 1) d'après l'énoncé,
donc il nous reste S[0]/2 - 1 après le magasin 1 et avant le magasin 2.
la première ligne du tableau est donc :
Magasin_1 | S[0] | S[0]/2 + 1 | S[0]/2 - 1
Dans notre cas, on connaît la somme restante après la magasin 5, qui est 0 et on veut retrouver la somme qu'on avait avant d'y rentrer, et éventuellement la somme dépensée, en fonction de cette somme restante.
On choisit donc l'inconnue y = S[0]/2 - 1, soit S[0] = 2*(y + 1).
On remplace S[0] par l'expression au-dessus en fonction de y et la première ligne du tableau s'écrit :
Magasin 1 | 2*(y + 1) | y + 2 | y
On fait la même chose mais pour la dernière ligne du tableau (y est donc égal à S[5] = 0) et passe aux lignes supérieures en mettant le résultat de la 2ème colonne de la ligne (n+1) (Somme avant magasin n+1) dans la dernière colonne de la ligne supérieure n (Somme restante après magasin n) puisqu'elles sont égales.
Magasin_1 | 62 | 32 | 30
Magasin_2 | 30 | 16 | 14
Magasin_3 | 14 | 8 | 6
Magasin_4 | 6 | 4 | 2
Magasin_5 | 2 | 2 | 0
Le jour du concours, j'écrirais directement la relation (4), d'après l'énoncé, et je dresserais rapidement le petit tableau au-dessus avec en dessous une flèche allant de la dernière case d'une ligne à la 2ème et portant l'annotation (+1 *2) et je porterais à chaque fois le résultat obtenu (exemple en gras dans le tableau) dans la dernière case de la ligne au-dessus etc.
Il me semble que tu fais allusion au problème suivant :
Une personne a dépensé tout son argent dans 5 magasins. Sachant qu'il a dépensé 1 franc de plus que la moitié de ce qu'il avait en entrant, combien avait-il en poche au départ?
A : 54 Fr B : 62 Fr C : 75 Fr D : 90 Fr
La bonne réponse est B : 62 Fr. Pourquoi ?
On voit tout de suite qu'il s'agit d'un problème de suite arithmético-géométrique. On s'en rend compte en modélisant le problème.
On peut donc essayer de résoudre le problème de manière purement analytique ou plus graphiquement avec un tableau
Méthode analytique
En effet, soit S[0] la somme possédée avant de pénétrer dans le 1er magasin.
D'après l'énoncé, la somme dépensée dans le magasin 1 est la somme Sd[1] = S[0]*2 + 1
La somme restante après le passage dans le magasin 1 est donc Sr[1] = S[0] - Sd[1] = S[0]/2 - 1
Cette somme Sr[1] est donc égale aussi à S[1], la somme possédée avant de pénétrer dans le 2nd magasin.
On a donc : S[1] = Sr[1] = S[0]/2 - 1
On peut en déduire directement : S[n+1] = S[n]/2 - 1 (équation 4)
Pour le détail, lire le contenu de la citation ci-dessous :
D'après l'énoncé, la somme restante après passage dans le magasin 5 est nulle d'où :Plus généralement, pour n entier positif, définissons :Il vient alors les relations suivantes :
- ¤ S[n] comme la somme possédée avant passage dans le magasin (n+1)
¤ Sd[n+1] comme la somme dépensée dans le magasin (n+1)
¤ Sr[n+1] comme la somme restante après passage dans le magasin (n+1)En remplaçant (2) dans (1), on a :
- ¤ S[n] = Sd[n+1] + Sr[n+1] (équation 1) : la somme de ce qu'il reste + ce qu'on a dépensé = ce qu'on avait avant d'entrer
¤ Sr[n] = S[n] (équation 2) : la somme restante après passage dans le magasin n = somme possédée avant d'entrer dans le magasin n
¤ Sd[n+1] = S[n]/2 + 1 (équation 3) : directement d'après l'énoncé
S[n] = Sd[n+1] + S[n+1]
En remplaçant (3) dans l'équation au dessus :
S[n] = S[n]/2 +1 + S[n+1]
ou encore : S[n+1] = S[n]/2 - 1 (équation 4)
S[5] = 0
On veut connaître S[0], la somme possédée avant de rentrer dans le magasin 1, donc remonter la suite.
Pour cela il faut exprimer S[n] en fonction de S[n+1].
D'après (4), S[n] = 2*(S[n+1] + 1) = 2*S[n+1] + 2
Là, 2 méthodes : soit on remonte petit à petit (méthode 1), soit on connaît la formule générale des suites arithmético-géométriques(méthode 2).
Méthode 1
On remonte pas à pas :
S[4] = 2*(S[5] + 1) = 2*(0 + 1) = 2
S[3] = 2*(S[4] + 1) = 2*(2 + 1) = 6
S[2] = 2*(S[3] + 1) = 2*(6 + 1) = 14
S[1] = 2*(S[2] + 1) = 2*(14 + 1) = 30
S[0] = 2*(S[1] + 1) = 2*(30 + 1) = 62
Méthode 2
Si une suite arithmétique quelconque est de la forme
Y[n+1] = a*Y[n] + b avec a et b non nuls, alors pour tout entier n positif :
Y[n] = (a^n)*Y[0] + b*(somme de i=0 à n-1 de a^i)
Dans notre cas, cela donne :
S[0] = (2^5)*S[5] + 2*(1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4)
S[0] = 62
Méthode graphique
On peut construire le tableau suivant avec les entrées suivantes, qui permet de retracer l'historique du passage dans les différents magasins.
x : N° du magasin | Somme poss. avant x | Somme dép. dans x | Somme rest. après x
Pour le premier magasin, on a S[0] avant d'entrer,
on dépense (S[0]/2 + 1) d'après l'énoncé,
donc il nous reste S[0]/2 - 1 après le magasin 1 et avant le magasin 2.
la première ligne du tableau est donc :
Magasin_1 | S[0] | S[0]/2 + 1 | S[0]/2 - 1
Dans notre cas, on connaît la somme restante après la magasin 5, qui est 0 et on veut retrouver la somme qu'on avait avant d'y rentrer, et éventuellement la somme dépensée, en fonction de cette somme restante.
On choisit donc l'inconnue y = S[0]/2 - 1, soit S[0] = 2*(y + 1).
On remplace S[0] par l'expression au-dessus en fonction de y et la première ligne du tableau s'écrit :
Magasin 1 | 2*(y + 1) | y + 2 | y
On fait la même chose mais pour la dernière ligne du tableau (y est donc égal à S[5] = 0) et passe aux lignes supérieures en mettant le résultat de la 2ème colonne de la ligne (n+1) (Somme avant magasin n+1) dans la dernière colonne de la ligne supérieure n (Somme restante après magasin n) puisqu'elles sont égales.
Magasin_1 | 62 | 32 | 30
Magasin_2 | 30 | 16 | 14
Magasin_3 | 14 | 8 | 6
Magasin_4 | 6 | 4 | 2
Magasin_5 | 2 | 2 | 0
Le jour du concours, j'écrirais directement la relation (4), d'après l'énoncé, et je dresserais rapidement le petit tableau au-dessus avec en dessous une flèche allant de la dernière case d'une ligne à la 2ème et portant l'annotation (+1 *2) et je porterais à chaque fois le résultat obtenu (exemple en gras dans le tableau) dans la dernière case de la ligne au-dessus etc.
Bonjour ,
Chapeau pour ta démonstration , mais je l'ai trouvé ensuite , enfin j'ai procédé autrement ,mais ta méthode est aussi trés bien ! C'est trés gentil de ta part ! Pour ma part, j'ai commencé par le fait que dans le dernier magasin , il a : x/2 +1=0 , avec x le capital initial , et j'ai remonté le problème , c'était pas évident au début , mais aprés une fois la méthode ,ça va ! Merci pour ta démo !
Chapeau pour ta démonstration , mais je l'ai trouvé ensuite , enfin j'ai procédé autrement ,mais ta méthode est aussi trés bien ! C'est trés gentil de ta part ! Pour ma part, j'ai commencé par le fait que dans le dernier magasin , il a : x/2 +1=0 , avec x le capital initial , et j'ai remonté le problème , c'était pas évident au début , mais aprés une fois la méthode ,ça va ! Merci pour ta démo !
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pongara
- Elève-pilote posteur
- Messages : 9
- Enregistré le : 13 juil. 2007, 12:30
- Localisation : Montpellier
Avec plaisir,
Le jour du concours c'est clair qu'on n'a pas le temps de s'appesantir sur le fond des choses, mais quand on a vraiment compris comment ça marche, on peut alors se passer de tout mon blabla et écrire la relation d'évolution du capital puis partir de l'arrivée et remonter, comme tu l'as fait.
Au fait, dans ton équation c'est pas plutôt x/2 - 1 = 0 avec x le capital résultant du passage dans le magasin 4 ?
x/2 + 1 c'est ce qu'il dépense, somme qui n'est pas nulle puisqu'il le dépense. C'est la différence avec le capital initial x -- ce qui reste comme argent -- qui est nulle puisqu'il dépense tout dans le dernier magasin, soit :
x- (x/2+1) = 0
Le jour du concours c'est clair qu'on n'a pas le temps de s'appesantir sur le fond des choses, mais quand on a vraiment compris comment ça marche, on peut alors se passer de tout mon blabla et écrire la relation d'évolution du capital puis partir de l'arrivée et remonter, comme tu l'as fait.
Au fait, dans ton équation c'est pas plutôt x/2 - 1 = 0 avec x le capital résultant du passage dans le magasin 4 ?
x/2 + 1 c'est ce qu'il dépense, somme qui n'est pas nulle puisqu'il le dépense. C'est la différence avec le capital initial x -- ce qui reste comme argent -- qui est nulle puisqu'il dépense tout dans le dernier magasin, soit :
x- (x/2+1) = 0
Si si exactement ! tu as raison , j'ai taper trop vite , c'est vrai c'est bien x/2-1=0 , parce que sinon on aurait un truc négatif là pour la somme qu'il lui restait , c'est ça ! mais à l'enac , comment sont les problèmes ? Similaires aux test extrait du guide epl ou plus facile ?Plus dure ? Tu as intégré ?
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